Question

17．已知雙曲線中心在原點，一個焦點為F（-$\sqrt{7}$，0），被直線y=x-1所截得的弦中點橫坐標(biāo)為-$\frac{2}{3}$，求此雙曲線方程．

Answer 1

分析 先設(shè)出雙曲線的方程，然后與直線方程聯(lián)立方程組，經(jīng)消元得一元二次方程，再根據(jù)韋達定理及弦中點橫坐標(biāo)，可得a、b的一個方程，又雙曲線中有c²=a²+b²，則另得a、b的一個方程，最后解a、b的方程組即得雙曲線方程．

解答 解：設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）．
將y=x-1代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，整理得（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0．
由韋達定理得x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$=-$\frac{2}{3}$．
又c²=a²+b²=7，解得a²=2，b²=5，
所以雙曲線的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$．

點評 本題主要考查代數(shù)方法解決幾何問題，同時考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)等．