Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A在橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1上，點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{OA}$，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$=6，則向量$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$方向上的正射影的數(shù)量為2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{OA}$便得$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OP}$，所以$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OA}$的夾角為0°，而根據(jù)$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=6$可得出$|\overrightarrow{OP}|=2\sqrt{6}$，從而根據(jù)射影的定義即可求出答案．

解答 解：根據(jù)已知條件，$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{AP}$同向，所以$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OP}$同向；
并且$\overrightarrow{OP}=4\overrightarrow{OA}$；
∴$\overrightarrow{OA}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OP}$；
∴由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$=6得，$\frac{1}{4}|\overrightarrow{OP}{|}^{2}=6$；
∴$|\overrightarrow{OP}|=2\sqrt{6}$；
∴$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$方向的正射影的數(shù)量為：|$\overrightarrow{OP}$|cos0°=2$\sqrt{6}$．
故答案為：$2\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 考查共線向量基本定理，數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量減法的幾何意義，正射影的定義．