Question

2．已知拋物線E：y²=2px（p＞0），過點M（-1，1）作拋物線E的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB的斜率為2．
（1）求拋物線的標準方程：
（2）與圓（x-1）²+y²=1相切的直線1，與拋物線交于P，Q兩點．若在拋物線上存在點C，使$\overrightarrow{OC}$=$λ（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}）$（λ＞0），求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設切線的斜率為k₁，k₂，求出A，B的坐標，從而求p，即可求出拋物線的標準方程；
（2）由題意設直線l：x=my+b，由題意可得，$\frac{|1+b|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1，可化為m²=2b+b²，由直線方程與拋物線聯(lián)立可得△=（-4m）²+16b＞0，從而求b的取值范圍，進而由韋達定理可得λ=1+$\frac{1}{4+2b}$，從而求λ的取值范圍．

解答 解：（1）設切線的斜率為k₁，k₂，
設過點M（-1，1）作拋物線E的切線的方程為x+1=k（y-1），即x=ky-k-1，
代入y²=2px，可得y²-2pky+2pk+2p=0，
△=（-2pk）²-4（2pk+2p）=0，∴pk²-2k-2=0，k₁+k₂=$\frac{2}{p}$，
∵A，B的縱坐標分別為pk₁，pk₂，
∴A，B的橫坐標分別為pk₁²-k₁-1，pk₂²-k₂-1，
∴直線AB的斜率為$\frac{p{k}_{2}-p{k}_{1}}{p{{k}_{2}}^{2}-{k}_{2}-1-p{{k}_{1}}^{2}+{k}_{1}+1}$=$\frac{p}{p•\frac{2}{p}-1}$=2，∴p=2
∴拋物線的標準方程：y²=4x
（2）設直線l：x=my+b，由題意可得，$\frac{|1+b|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1
∴m²=2b+b²…①，
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=my+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
∴y²-4my-4b=0，
△=（-4m）²+16b＞0②，
由①②可知，b∈（-∞，-3）∪（0，+∞）；
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），C（x，y）；
則y₁+y₂=4m，x₁+x₂=4m²+2b，
∵$\overrightarrow{OC}$=$λ（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}）$（λ＞0），
∴x=λ（x₁+x₂），y=λ（y₁+y₂），
則λ²（y₁+y₂）²=4λ（x₁+x₂），
即λ=1+$\frac{1}{4+2b}$；
∴λ∈（$\frac{1}{2}$，1）∪（1，$\frac{5}{4}$）．

點評 本題考查了圓錐曲線的方程的求法及圓錐曲線與直線的運算，屬于難題．