Question

17．數(shù)列{a_n}中，定義：d_n=a_n+2+a_n-2a_n+1（n≥1），a₁=1．
（Ⅰ）若d_n=a_n，a₂=2，求a_n；
（Ⅱ） 若a₂=-2，d_n≥1，求證此數(shù)列滿足a_n≥-5（n∈N^*）；
（Ⅲ）若|d_n|=1，a₂=1且數(shù)列{a_n}的周期為4，即a_n+4=a_n（n≥1），寫出所有符合條件的{d_n}．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡可得a_n+2-2a_n+1=0（n≥1）；從而檢驗可得數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而求得；
（Ⅱ）由d_n≥1，構(gòu)造c_n=a_n+1-a_n，從而可得c_n+1-c_n≥1，從而可得a_n+1-a_n≥n-4，從而可得${a_n}≥\frac{{{n^2}-9n+10}}{2}$≥-5．
（Ⅲ）由|d_n|=1，a₁=1，a₂=1討論求a₃，a₄，a₅，從而歸納可得．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n=d_n=a_n+2+a_n-2a_n+1（n≥1），
∴a_n+2-2a_n+1=0（n≥1）；
又∵a₁=1，a₂=2，
∴數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
故數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}={2^{n-1}}$；
（Ⅱ）證明：∵d_n≥1，
∴a_n+2+a_n-2a_n+1≥1，
令c_n=a_n+1-a_n，則
c_n+1-c_n≥1，
疊加得，c_n≥n-4；
即a_n+1-a_n≥n-4，
疊加可得，${a_n}≥\frac{{{n^2}-9n+10}}{2}$≥-5．
（Ⅲ）由于|d_n|=1，a₁=1，a₂=1，
若d₁=1，則可得a₃=2，
若d₁=-1可得a₃=0；
同理，若d₂=1可得a₄=4或a₄=2，
若d₂=-1可得a₄=0或a₄=-2；
具體如下表所示，
1，1，$\left\{\begin{array}{l}{2\left\{\begin{array}{l}{4\left\{\begin{array}{l}{7}\\{5}\end{array}\right.}\\{2\left\{\begin{array}{l}{3}\\{1}\end{array}\right.}\end{array}\right.}\\{0\left\{\begin{array}{l}{0\left\{\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}\right.}\\{-2\left\{\begin{array}{l}{-3}\\{-5}\end{array}\right.}\end{array}\right.}\end{array}\right.$；
所以{a_n}可以為1，1，2，2；1，1，2，2；1，1，2，2；…
或1，1，0，0；1，1，0，0；1，1，0，0；…
此時相應的{d_n}為1，-1，-1，1，1，-1，-1，1，…
或-1，1，1，-1，-1，1，1，-1，…．

點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應用，同時考查了分類討論思想方法應用及構(gòu)造法與歸納法的應用．