Question

9．滿足z+$\frac{10}{z}$是實(shí)數(shù)，且z+4的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)的虛數(shù)z是否存在，若存在，求出虛數(shù)z；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 假設(shè)存在虛數(shù)z，則設(shè)z=a+bi（a，b∈R，且b≠0），由已知條件列出方程組，求解即可得到a，b的值，則答案可求．

解答 解：假設(shè)存在虛數(shù)z，則設(shè)z=a+bi（a，b∈R，且b≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}a+bi+\frac{10}{a+bi}∈R\\ a+4+b=0\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}b-\frac{10b}{{{a^2}+{b^2}}}=0\\ a+b=-4.\end{array}\right.$，
∵b≠0，∴$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+{b^2}=10\\ a+b=-4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=-1.\end{array}\right.$．
∴存在虛數(shù)z₁=-1-3i或z₂=-3-i滿足上述條件．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)相等的充要條件，考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．