Question

16．已知等比數(shù)列{a_n}中：a₁=1，a₇a₈=27a${\;}_{9}^{2}$．．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=-$\frac{1}{lo{g}_{3}{a}_{2n+1}•lo{g}_{3}{a}_{2n+3}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）化簡a₇a₈=27a${\;}_{9}^{2}$可得a₇=27a₁₀，從而求得$q=\frac{1}{3}$，從而寫出{a_n}的通項公式；
（2）利用對數(shù)運算化簡可得log₃a_2n+1=-2n，log₃a_2n+3=-2n-2，從而利用裂項求和法求和．

解答 解：（1）∵a₇a₈=27a${\;}_{9}^{2}$，∴a₇a₈=27a₈a₁₀，
∴a₇=27a₁₀，
設{a_n}的公比為q，則${q^3}=\frac{{{a_{10}}}}{a_7}=\frac{1}{27}$，
故$q=\frac{1}{3}$，
所以{a_n}的通項公式為a_n=（$\frac{1}{3}$）^n-1；
（2）log₃a_2n+1=log₃（（$\frac{1}{3}$）²ⁿ）=-2n，
log₃a_2n+3=log₃（（$\frac{1}{3}$）²ⁿ⁺²）=-2n-2，
故b_n=-$\frac{1}{lo{g}_{3}{a}_{2n+1}•lo{g}_{3}{a}_{2n+3}}$=-$\frac{1}{4n（n+1）}$=-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故${S_n}=-\frac{1}{4}[{（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）}]=-\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）=-\frac{n}{4n+4}$．

點評 本題考查了數(shù)列的性質的判斷與應用，同時考查了對數(shù)運算及裂項求和法的應用．