Question

4．以下關(guān)于橢圓的命題中真命題的個(gè)數(shù)是（　　）
?①“-3＜m＜5”是“方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}$=1表示橢圓”的充要條件；
?②在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)A（-3，0），B（3，0）且頂點(diǎn)C在橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1上，則$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{5}{3}$；
?③橢圓C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1上的點(diǎn)到直線l：x+y=6距離的最小值為$\sqrt{2}$；
④橢圓C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的內(nèi)接平行四邊形ABCD面積的最大值是4．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}$=1表示橢圓?$\left\{\begin{array}{l}{5-m＞0}\\{m+3＞0}\\{5-m≠m+3}\end{array}\right.$，解出即可判斷出結(jié)論；
?②由橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1，可得AC+BC=2a=10，$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AB}{sinC}$，$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{AC+BC}{AB}$=$\frac{10}{6}$，即可判斷出結(jié)論；
?③設(shè)橢圓C上的點(diǎn)P（4cosθ，3sinθ），則P到直線l：x+y=6距離d=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可判斷出結(jié)論；
④橢圓C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的內(nèi)接平行四邊形為內(nèi)接矩形時(shí)ABCD面積的最大值為2ab，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：?①方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}$=1表示橢圓?$\left\{\begin{array}{l}{5-m＞0}\\{m+3＞0}\\{5-m≠m+3}\end{array}\right.$，解得-3＜m＜5，且m≠1，因此?“-3＜m＜5”是“方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}$=1表示橢圓”的必要充分條件，因此不正確；
?②在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)A（-3，0），B（3，0）且頂點(diǎn)C在橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1上，則AC+BC=2a=10，∴$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AB}{sinC}$，
則$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{AC+BC}{AB}$=$\frac{10}{6}$=$\frac{5}{3}$，因此$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{5}{3}$不正確；
?③橢圓C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1上的點(diǎn)P（4cosθ，3sinθ）到直線l：x+y=6距離d=$\frac{|4cosθ+3sinθ-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-6|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此不正確；
④橢圓C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的內(nèi)接平行四邊形為內(nèi)接矩形時(shí)ABCD面積的最大值2ab=2×2×1=4，正確．
綜上只有④正確．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、正弦定理、點(diǎn)到直線的距離公式、矩形的面積，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．