Question

7．若方程2sin²x+sinx-m-2=0在[0，2π）上有且只有兩解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-1，1）∪{-$\frac{17}{8}$}．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)y=2sin²x+sinx的圖象和直線y=m+2在[0，2π）上有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y=2t²+t的圖象和直線直線y=m+2在（-1，1）上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得m的范圍．

解答 解：由于方程2sin²x+sinx-m-2=0在[0，2π）上有且只有兩解，
故函數(shù)y=2sin²x+sinx的圖象和直線y=m+2在[0，2π）上有且只有兩個(gè)交點(diǎn)．
由于sinx在（-1，1）上任意取一個(gè)值，在[0，2π）上都有2個(gè)x值和它對(duì)應(yīng)，
故令t=sinx∈[-1，1]，則函數(shù)y=2t²+t的圖象和直線直線y=m+2在（-1，1）上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
如圖所示：∵當(dāng)t=-$\frac{1}{4}$時(shí)，y=-$\frac{1}{8}$，
故 1＜m+2＜3或m+2=-$\frac{1}{8}$，求得-1＜m＜1或m=-$\frac{17}{8}$，
故答案為：（-1，1）∪{-$\frac{17}{8}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，屬于中檔題．