Question

2．設函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤π），已知點M（0，1），N（π，-1）分別是其圖象上相鄰的最高點與最低點．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）²+2af（x）+a（a∈R），當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，g（x）的最大值為1，求a的值．

Answer 1

分析 （I）由題意可得A=1，$\frac{2π}{ω}$=2（π-0），代入點M（0，1）可得φ值，可得解析式；
（Ⅱ）結合題意換元可得t=f（x）=cosx∈[0，1]，可得g（x）=（t+a）²+a-a²，t∈[0，1]，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：（I）由題意可得A=1，$\frac{2π}{ω}$=2（π-0），解得ω=1，
∴f（x）=sin（x+φ），代入點M（0，1）可得sinφ=1，
結合0≤φ≤π可得φ=$\frac{π}{2}$，故f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$），
由誘導公式化簡可得函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=cosx；
（Ⅱ）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，t=f（x）=cosx∈[0，1]，
∴g（x）=f（x）²+2af（x）+a=t²+2at+a=（t+a）²+a-a²，t∈[0，1]，
當-a≤$\frac{1}{2}$即a≥-$\frac{1}{2}$時，由二次函數(shù)可知y=（t+a）²+a-a²在當t=1時取最大值1+3a=1，解得a=0，符合題意；
當-a＞$\frac{1}{2}$即a＜-$\frac{1}{2}$時，由二次函數(shù)可知y=（t+a）²+a-a²在當t=0時取最大值a=1，解得a=1，不符合題意；
綜上可得a的值為0．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質，涉及分類討論和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．