Question

15．在等差數(shù)列{a_n}中，設a₃=5，S₃=9，在等比數(shù)列{b_n}中，設b₂=4與b₅=32，解答下列問題：
（1）求a_n；
（2）求b_n；
（3）若c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過等差中項及S₃=9可知a₂=3，利用d=a₃-a₂可知公差d=2，進而利用a_n=a₂+（n-2）d計算即得結(jié)論；
（2）通過代入計算可知q=$\root{3}{\frac{_{5}}{_{2}}}$=2，進而利用b_n=b₂•q^n-2計算即得結(jié)論；
（3）通過（1）可知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為n²，通過（2）可知等比數(shù)列{b_n}的前n項和為2ⁿ⁺¹-2，進而相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S₃=a₁+a₂+a₃=3a₂=9，
∴a₂=3，
又∵a₃=5，
∴等差數(shù)列{a_n}的公差d=a₃-a₂=5-3=2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
（2）∵b₂=4，b₅=32，
∴q=$\root{3}{\frac{_{5}}{_{2}}}$=2，
∴等比數(shù)列{b_n}的公比為2，
∴b_n=b₂•q^n-2=4•2^n-2=2ⁿ；
（3）由（1）可知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
由（2）可知等比數(shù)列{b_n}的前n項和為$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2，
∵c_n=a_n+b_n，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=n²+2ⁿ⁺¹-2．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．