Question

1．三棱錐A-BCD中，AB=$\sqrt{6}$，其余各棱長都為2，則該三棱錐外接球的表面積為$\frac{20}{3}$π．

Answer 1

分析 由題意畫出幾何體的圖形，推出四面體的外接球的球心的位置，求出球的半徑，即可求出三棱錐外接球的表面積．

解答 解：由題意畫出幾何體的圖形，BC的中點為O，連接AO，DO，則AO⊥BC，DO⊥BC，
∴BC⊥平面AOD，
又∵OA=OD=$\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{6}$，∴AO⊥DO，
∴球的球心在AD的中點E與O的連線上，
設(shè)球心為G，∴OE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，球的半徑為R，即GA=GB=GC=GD，
G在OE上，所以AG²-AE²=EG²，BG²-BO²=GO²，EO=EG+GO，
所以$\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\sqrt{{R}^{2}-1}$+$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$，解得R=$\frac{\sqrt{15}}{3}$；
所以此三棱錐外接球的表面積為4πR²=$\frac{20}{3}$π．
故答案為：$\frac{20}{3}$π．

點評 考查四棱錐的外接球的半徑的求法，考查空間想象能力，能夠判斷球心的位置是本題解答的關(guān)鍵，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．