Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位，沿y軸正方向平移5個(gè)單位，得到直線l₁．再將直線l₁沿x軸正方向平移1個(gè)單位，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位，又與直線l重合．若直線l與直線l₁關(guān)于點(diǎn)（2，3）對稱，則直線l的方程是6x-8y+1=0．

Answer 1

分析 利用直線的平移變換、直線的對稱性即可得出．

解答 解：設(shè)直線l的方程為：y=kx+b，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位，沿y軸正方向平移5個(gè)單位，得到直線l₁：y=k（x-3）+5+b，化為y=kx+b+5-3k，
再將直線l₁沿x軸正方向平移1個(gè)單位，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位，y=k（x-3-1）+b+5-2，化為y=kx+3-4k+b．
又與直線l重合．
∴b=3-4k+b，解得k=$\frac{3}{4}$．
∴直線l的方程為：y=$\frac{3}{4}$x+b，直線l₁為：y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{11}{4}$+b，
設(shè)直線l上的一點(diǎn)P（m，b+$\frac{3m}{4}$），則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)（2，3）的對稱點(diǎn)P′（4-m，6-b-$\frac{3}{4}$m），
∴6-b-$\frac{3}{4}$m=$\frac{3}{4}$（4-m）+b+$\frac{11}{4}$，解得b=$\frac{1}{8}$．
∴直線l的方程是y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{8}$，化為：6x-8y+1=0．
故答案為：6x-8y+1=0．

點(diǎn)評 本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、直線的平移變換、直線的對稱性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．