Question

16．設(shè)P₁和P₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上的兩點，線段P₁P₂的中點為M，直線P₁P₂不經(jīng)過坐標原點O．
（1）若直線P₁P₂和直線OM的斜率都存在且分別為k₁和k₂，求證：k₁k₂=$\frac{b^2}{a^2}$；
（2）若雙曲線的焦點分別為${F_1}（-\sqrt{3}，0）$、${F_2}（\sqrt{3}，0）$，點P₁的坐標為（2，1），直線OM的斜率為$\frac{3}{2}$，求由四點P₁、F₁、P₂、F₂所圍成四邊形P₁F₁P₂F₂的面積．

Answer 1

分析 （1）法1：設(shè)不經(jīng)過點O的直線P₁P₂方程為y=k₁x+l，代入雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，消去y，設(shè) P₁坐標為（x₁，y₁），P₂坐標為（x₂，y₂），中點坐標為M （x，y），通過韋達定理，推出${a^2}{k_1}{k_2}={a^2}{k_1}^2+{b^2}-{a^2}{k_1}^2$，即可證明k₁k₂=$\frac{b^2}{a^2}$．
法2：設(shè)P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），中點M （x，y），利用 $x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$且$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1（1）\\ \frac{x_2^2}{a^2}-\frac{y_2^2}{b^2}=1（2）\end{array}\right.$
利用平方差法通過直線P₁P₂和直線OM的斜率都存在，化簡求解即可證明k₁k₂=$\frac{b^2}{a^2}$．
（2）通過$\left\{\begin{array}{l}\frac{2^2}{a^2}-\frac{1}{b^2}=1\\{a^2}+{b^2}=3\end{array}\right.$，求得雙曲線方程，求出直線P₁ P₂方程為$y-1=\frac{1}{3}（x-2）$，然后求解面積．
另解：線段P₁ P₂中點M在直線$y=\frac{3}{2}x$上．所以由中點M（（x，y），可得點P₂的坐標為P₂（2x-2，3x-1），代入雙曲線方程可求出以${P_2}（-\frac{10}{7}，-\frac{1}{7}）$．然后求解面積．

解答 解：（1）證明：法1：設(shè)不經(jīng)過點O的直線P₁P₂方程為y=k₁x+l，代入雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$方程得：$（{b^2}-{a^2}{k_1}^2）{x^2}-2{a^2}{k_1}lx-{a^2}{b^2}-{a^2}{l^2}=0$．
設(shè) P₁坐標為（x₁，y₁），P₂坐標為（x₂，y₂），中點坐標為M （x，y），則$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，${x_1}+{x_2}=\frac{{2{a^2}{k_1}l}}{{{b^2}-{a^2}{k_1}^2}}$，${k_2}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}={k_1}+\frac{{{b^2}-{a^2}{k_1}^2}}{{{a^2}{k_1}}}$，所以，${a^2}{k_1}{k_2}={a^2}{k_1}^2+{b^2}-{a^2}{k_1}^2$，k₁k₂=$\frac{b^2}{a^2}$．
法2：設(shè)P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），中點M （x，y），則 $x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$且$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1（1）\\ \frac{x_2^2}{a^2}-\frac{y_2^2}{b^2}=1（2）\end{array}\right.$
（1）-（2）得：$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）}}{a^2}-\frac{{（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）}}{b^2}=0$．
因為，直線P₁P₂和直線OM的斜率都存在，所以（x₁+x₂）（x₁-x₂）≠0，
等式兩邊同除以（x₁+x₂）（x₁-x₂），得：$\frac{1}{a^2}-\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}•\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}•\frac{1}{b^2}=0$
即k₁k₂=$\frac{b^2}{a^2}$．（6分）
（2）由已知得$\left\{\begin{array}{l}\frac{2^2}{a^2}-\frac{1}{b^2}=1\\{a^2}+{b^2}=3\end{array}\right.$，求得雙曲線方程為$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$，
直線P₁ P₂斜率為$\frac{b^2}{a^2}$$÷\frac{3}{2}=\frac{1}{3}$，
直線P₁ P₂方程為$y-1=\frac{1}{3}（x-2）$，
代入雙曲線方程可解得 ${P_2}（-\frac{10}{7}，-\frac{1}{7}）$（中點M坐標為$（\frac{2}{7}，\frac{3}{7}）$．
面積$\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{3}•\frac{8}{7}=\frac{{8\sqrt{3}}}{7}$．
另解：線段P₁ P₂中點M在直線$y=\frac{3}{2}x$上．所以由中點M（（x，y），可得點P₂的坐標為P₂（2x-2，3x-1），代入雙曲線方程可得$\frac{{{{（2x-2）}^2}}}{2}-{（3x-1）^2}=1$，即7x²-2x=0，解得$x=\frac{2}{7}$（$y=\frac{3}{7}$），所以${P_2}（-\frac{10}{7}，-\frac{1}{7}）$．面積$\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{3}•\frac{8}{7}=\frac{{8\sqrt{3}}}{7}$．

點評 本題考查直線與雙曲線方程的綜合應(yīng)用，直線的斜率的求法，設(shè)而不求方法的應(yīng)用，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．