Question

1．已知A，B是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)，若P雙曲線上一點(diǎn)，P關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為Q，若直線AP，BQ的斜率分別K₁，K₂且K₁K₂=-$\frac{4}{9}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），則Q（x，-y），利用A（-a，0），B（a，0），直線AP，BQ的斜率分別K₁，K₂且K₁K₂=-$\frac{4}{9}$，建立方程，結(jié)合雙曲線的定義，求出$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{9}$，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)P（x，y），則Q（x，-y），
∵A（-a，0），B（a，0），直線AP，BQ的斜率分別K₁，K₂且K₁K₂=-$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{y}{x+a}$•$\frac{-y}{x-a}$=-$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{9}$，
∴e=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用雙曲線的方程是關(guān)鍵．