Question

19．已知f（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²-6x+c，若x∈[0，2]都有f（x）＞2c-$\frac{1}{2}$恒成立，則c的取值范圍是（-∞，-3）．

Answer 1

分析 要使不等式恒成立問題，只要函數的最小值大于代數式即可，f （ x）的最小值為f （1）；要使f（x）＞2c-$\frac{1}{2}$恒成立，只需f （1）＜2c-$\frac{1}{2}$，解不等式即可．

解答 解：f（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²-6x+c，f′（ x）=3x²+3x-6，
令f′（ x）=3x²+3x-6＞0得x＜-2或x＞1，
所以f （ x）在[0，1]函數是減函數，[1，2]上遞增；
又f（1）=c-$\frac{7}{2}$
∴f （ x）的最小值為f （1）；
要使x∈[0，2]都有f（x）＞2c-$\frac{1}{2}$恒成立，只需f （1）＞2c-$\frac{1}{2}$，
解得c＜-3．
c的取值范圍是：（-∞，-3）．
故答案為：（-∞，-3）．

點評 本題考查函數的極值的應用，考查函數的恒成立問題，本題解題的關鍵是寫出函數的最值，哪函數的最值同要比較的量進行比較，再利用不等式或方程思想．