Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)$（0\;，\;\sqrt{2}）$，且滿足a+b=3$\sqrt{2}$．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 斜率為$\frac{1}{2}$的直線交橢圓C于兩個不同點(diǎn)A，B，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1），設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k₁，k₂．
①若直線過橢圓C的左頂點(diǎn)，求此時(shí)k₁，k₂的值；
②試探究k₁+k₂是否為定值？并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件直接求解b，a，得到橢圓的方程．
（Ⅱ）①若直線過橢圓的左頂點(diǎn)，直線的方程是$l：y=\frac{1}{2}x+\sqrt{2}$，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解斜率．
②判斷k₁+k₂為定值，且k₁+k₂=0．設(shè)直線的方程為$y=\frac{1}{2}x+m$．與橢圓方程聯(lián)立，利用△=4m²-8m²+16＞0，求出直線與橢圓交于兩點(diǎn)時(shí)m的范圍，設(shè)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線的斜率，化簡求解即可．

解答 （共14分）
解：（Ⅰ）由橢圓過點(diǎn)$（0，\sqrt{2}）$，則$b=\sqrt{2}$．
又$a+b=3\sqrt{2}$，
故$a=2\sqrt{2}$．
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）①若直線過橢圓的左頂點(diǎn)，則直線的方程是$l：y=\frac{1}{2}x+\sqrt{2}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\sqrt{2}}\\{\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}=0}\\{{y_1}=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{{x_2}=-2\sqrt{2}}\\{{y_2}=0}\end{array}}\right.$
故${k_1}=-\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$，${k_2}=\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$．…（8分）
②k₁+k₂為定值，且k₁+k₂=0．
設(shè)直線的方程為$y=\frac{1}{2}x+m$．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$消y，得x²+2mx+2m²-4=0．
當(dāng)△=4m²-8m²+16＞0，即-2＜m＜2時(shí)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)．
設(shè)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2m，${x_1}{x_2}=2{m^2}-4$．
又${k_1}=\frac{{{y_1}-1}}{{{x_1}-2}}$，${k_2}=\frac{{{y_2}-1}}{{{x_2}-2}}$，
故${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}-1}}{{{x_1}-2}}+\frac{{{y_2}-1}}{{{x_2}-2}}$=$\frac{{（{y_1}-1）（{x_2}-2）+（{y_2}-1）（{x_1}-2）}}{{（{x_1}-2）（{x_2}-2）}}$．
又${y_1}=\frac{1}{2}{x_1}+m$，${y_2}=\frac{1}{2}{x_2}+m$，
所以（y₁-1）（x₂-2）+（y₂-1）（x₁-2）=$（\frac{1}{2}{x_1}+m-1）（{x_2}-2）+（\frac{1}{2}{x_2}+m-1）（{x_1}-2）$=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）=2m²-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）=0．
故k₁+k₂=0．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查方程思想，轉(zhuǎn)化思想，分析問題解決問題的能力．