Question

2．設(shè)M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DE⊥AB于E（如圖），AE=EB=DE=2．現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B為90°，P，Q分別是線段AE和線段EB上任意一點(diǎn)，若MQ⊥PN時(shí)，求PQ長度的取值范圍$[{\frac{{\sqrt{5}}}{5}，1}]$．

Answer 1

分析 先畫出折疊后的圖形，根據(jù)已知條件可分別以EB，ED，EA三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，并可求出圖形上一些點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)P，Q分別為線段AE、EB上的點(diǎn)，可設(shè)P（0，0，z），Q（x，0，0）．這時(shí)可由MQ⊥PN得到$\overrightarrow{MQ}•\overrightarrow{PN}=0$，從而可得到z=1-2x，從而可以得到PQ的長度|PQ|=$\sqrt{5（x-\frac{2}{5}）^{2}+\frac{1}{5}}$，這時(shí)候，根據(jù)x，z的范圍可求出x的范圍，由x的范圍即可求出|PQ|的取值范圍．

解答 解：如圖，由條件知EB，ED，EA三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則：
E（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），N（2，1，0），D（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1）；
P，Q分別是線段AE和線段EB上任意一點(diǎn)；
∴設(shè)P（0，0，z），Q（x，0，0），x，z∈[0，2]；
∴$\overrightarrow{MQ}=（x，-1，-1）$，$\overrightarrow{PN}=（2，1，-z）$；
∵M(jìn)Q⊥PN；
∴$\overrightarrow{MQ}•\overrightarrow{PN}=2x-1+z$=0；
∴z=1-2x；
∵x，z∈[0，2]，∴0≤1-2x≤2；
解得$0≤x≤\frac{1}{2}$；
∴$|PQ|=\sqrt{{x}^{2}+{z}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+（1-2x）^{2}}$=$\sqrt{5（x-\frac{2}{5}）^{2}+\frac{1}{5}}$；
∴$x=\frac{2}{5}$時(shí)，|PQ|取最小值$\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，x=0時(shí)，|PQ|取最大值$\sqrt{\frac{4}{5}+\frac{1}{5}}=1$；
∴PQ長度的取值范圍為[$\frac{\sqrt{5}}{5}$，1]．
故答案為：[$\frac{\sqrt{5}}{5}，1$]．

點(diǎn)評 考查二面角的大小的定義，弄清圖形折疊前后的變化，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決異面直線垂直的問題的方法，能夠確定空間點(diǎn)的坐標(biāo)，以及配方求函數(shù)最值的方法，注意正確確定變量的范圍．