Question

13．求“方程3^x+4^x=5^x的解”有如下解題思路：設(shè)$f（x）={（\frac{3}{5}）^x}+{（\frac{4}{5}）^x}$，則f（x）在R上單調(diào)遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．類(lèi)比上述解題思路，方程${x^3}+x=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x}$的解為-1或1．

Answer 1

分析 類(lèi)比求求“方程3^x+4^x=5^x的解”的解題思路，設(shè)f（x）=x³+x，利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）在R上單調(diào)遞增，從而根據(jù)原方程可得x=$\frac{1}{x}$，解之即得方程${x^3}+x=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x}$的解．

解答 解：類(lèi)比上述解題思路，設(shè)f（x）=x³+x，由于f′（x）=3x²+1≥0，則f（x）在R上單調(diào)遞增，
∵${x^3}+x=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x}$，
∴x=$\frac{1}{x}$，
解之得，x=-1或1．
故答案為：-1或1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了類(lèi)比推理，考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．