Question

12．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的和為S_n，則S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈，S₁₄-S₁₂成等差數(shù)列，類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)積為T_n，則T₄，$\frac{{T}_{8}}{{T}_{4}}$，$\frac{{T}_{12}}{{T}_{8}}$，$\frac{{T}_{16}}{{T}_{12}}$成等比數(shù)列．

Answer 1

分析 由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項(xiàng)之和仍成等差數(shù)列時(shí)，類比到等比數(shù)列為依次每4項(xiàng)的積的商成等比數(shù)列．下面證明該結(jié)論的正確性．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，首項(xiàng)為b₁，
則T₄=b₁⁴q⁶，T₈=b₁⁸q¹⁺²⁺⁺⁷=b₁⁸q²⁸，
T₁₂=b₁¹²q^1+2++11=b₁¹²q⁶⁶，
∴$\frac{{T}_{8}}{{T}_{4}}$=b₁⁴q²²，$\frac{{T}_{12}}{{T}_{8}}$=b₁⁴q³⁸，
即（$\frac{{T}_{8}}{{T}_{4}}$）²=$\frac{{T}_{12}}{{T}_{8}}$•T₄，故T₄，$\frac{{T}_{8}}{{T}_{4}}$，$\frac{{T}_{12}}{{T}_{8}}$，成等比數(shù)列，
故答案為：$\frac{{T}_{8}}{{T}_{4}}$，$\frac{{T}_{12}}{{T}_{8}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查類比推理，類比推理一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想）．