Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，點（n，S_n）在函數(shù)f（x）=2x²的圖象上，數(shù)列{b_n}滿足：b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n．其中n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求證：數(shù)列{c_n}的前n項的和${T_n}＞\frac{5}{9}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用${S_n}=2{n^2}$與${S_{n-1}}={（n-1）^2}$作差可知a_n=4n-2（n≥2）進(jìn)而可知a_n=4n-2；通過代入計算可知b_n+1=$\frac{1}{4}$b_n，進(jìn)而計算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可知數(shù)列{c_n}的通項公式，進(jìn)而利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：由已知條件得${S_n}=2{n^2}$，①
當(dāng)n=1時，a₁=2（1分）
當(dāng)n≥2時，${S_{n-1}}={（n-1）^2}$，②（2分）
①-②得：${a_n}=2{n^2}-2{（n-1）^2}$，即a_n=4n-2（n≥2），（4分）
又a₁=2，∴a_n=4n-2；   （5分）
∵b₁=a₁，b_n+1（a_n+1-a_n）=b_n，
∴${b_1}=2，\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{1}{4}$，
∴${b_n}=2•{（\frac{1}{4}）^{n-1}}$； （6分）
（Ⅱ）證明：∵${c_n}=\frac{a_n}{b_n}=（2n-1）{4^{n-1}}$，（7分）
∴${T_n}=1+3•4+5•{4^2}+…+（2n-3）•{4^{n-2}}+（2n-1）•{4^{n-1}}$，
4T_n=4+3•4²+…+（2n-3）•4^n-1+（2n-1）•4ⁿ（9分）
兩式相減得$-3{T_n}=1+2（4+{4^2}+…+{4^{n-1}}）-（2n-1）{4^n}=-\frac{5}{3}-（2n-\frac{5}{3}）•{4^n}＜-\frac{5}{3}$（12分）
∴${T_n}＞\frac{5}{9}$．     （13分）

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．