Question

11．（1）求函數(shù)f（x）=xlnx在x=e處的切線方程；
（2）x∈R，證明不等式e^x≥x+1．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（e），f′（e），從而求出切線方程即可；（2）設(shè)g（x）=e^x-x-1，求出g（x）的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f′（x）=1+lnx，（x＞0），
∴k=f（e）'=lne+1=2，
又當x=e時，y=e，
所以切點為（e，e），
∴切線方程為y-e=2×（x-e），
即y=2x-e．
（2）設(shè)g（x）=e^x-x-1，
則g'（x）=e^x-1，
由g'（x）=e^x-1＞0得x＞0，
由g'（x）=e^x-1=0得x=0，
由g'（x）=e^x-1＜0得x＜0，
所以g（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，∞）上是增函數(shù)函數(shù)，
在x=0處取得最小值，
即g（x）≥g（0）=0，
所以e^x≥x+1．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．