Question

9．直線m：（1+λ）x+y-2λ-4=0與圓O：x²+y²=16交于A，C，直線n：x-（λ+1）（y-2）-2=0與圓O交于B，D，則四邊形ABCD面積的最大值是24．

Answer 1

分析 先確定直線m，n恒過定點M（2，2），圓心O（0，0），半徑R=4，AC²+BD²為定值，表示出面積，即可求四邊形ABCD的面積的最大值和最小值．

解答 解：由題意可得，直線m，n恒過定點M（2，2），圓心O（0，0），半徑R=4，
設(shè)弦AC，BD的中點分別為E，F(xiàn)，則OE²+OF²=OM²=8，
AC=2$\sqrt{16-O{E}^{2}}$，BD=2$\sqrt{16-O{F}^{2}}$，
∴AC²+BD²=4（32-OE²-OF²）=96，
∴S²≤$\frac{1}{4}$AC²•BD²=$\frac{1}{4}$AC²•（96-AC²）≤$\frac{1}{4}•（\frac{A{C}^{2}+96-A{C}^{2}}{2}）^{2}$=576，
∴S≤24，當(dāng)且僅當(dāng)AC²=96-AC²，即AC=4$\sqrt{3}$時，取等號，
故四邊形ABCD面積S的最大值為24．
故答案為：24．

點評 本題主要考查直線過定點，考查面積的計算，基本不等式的應(yīng)用，正確運用代入法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．