Question

17．已知F為拋物線y²=ax（a＞0）的焦點．M點的坐標為（4，0），過點F作斜率為k₁的直線與拋物線交于A、B兩點，延長AM、BM交拋物線于C、D兩點，設(shè)直線CD的斜率為k₂，且k₁=$\sqrt{2}$k₂．則a=8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），利用k₁=$\sqrt{2}$k₂，可得y₁+y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（y₃+y₄）設(shè)AC所在直線方程為x=ty+4，代入拋物線方程，求出y₁y₃=-4a，同理y₂y₄=-4a，進而可得y₁y₂=-2$\sqrt{2}$a，設(shè)AB所在直線方程為x=ty+$\frac{a}{4}$，代入拋物線方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則
k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{a}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，k₂=$\frac{a}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，
∵k₁=$\sqrt{2}$k₂，
∴y₁+y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（y₃+y₄）．
設(shè)AC所在直線方程為x=ty+4，代入拋物線方程，可得y²-aty-4a=0，
∴y₁y₃=-4a，
同理y₂y₄=-4a，
∴y₁+y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{-4a}{{y}_{1}}$+$\frac{-4a}{{y}_{2}}$），
∴y₁y₂=-2$\sqrt{2}$a，
設(shè)AB所在直線方程為x=ty+$\frac{a}{4}$，代入拋物線方程，可得y²-aty-$\frac{{a}^{2}}{4}$=0，
∴y₁y₂=-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴-2$\sqrt{2}$a=-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴a=8$\sqrt{2}$．
故答案為：8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．