Question

19．在直角坐標系xOy中，圓C₁：x²+（y-2）²=$\frac{1}{4}$，橢圓C₂：x²+4y²=4，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系
（I）求C₁、C₂的極坐標方程；
（Ⅱ）若P，Q分別是圓C₁，橢圓C₂，橢圓C₂上的任意點，求|PQ|的最大值及相應(yīng)的點Q坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圓C₁、C₂的極坐標方程．
（Ⅱ）設(shè)Q（2cosα，sinα），求出P到圓心（0，2）的距離的最大值，由此能求出|PQ|的最大值及相應(yīng)的Q點坐標．

解答 解：（Ⅰ）∵圓C₁：x²+（y-2）²=$\frac{1}{4}$，∴${x}^{2}+{y}^{2}=2y-\frac{15}{4}$，
∴圓C₁的極坐標方程為${ρ}^{2}=2ρsinθ-\frac{15}{4}$．
∵橢圓C₂：x²+4y²=4，
∴橢圓C₂的極坐標方程為ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4．
（Ⅱ）橢圓C₂：x²+4y²=4的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，0≤α＜2π，
設(shè)Q（2cosα，sinα），則P到圓心（0，2）的距離：
d=$\sqrt{4co{s}^{2}α+（2-sinα）^{2}}$=$\sqrt{8-3si{n}^{2}α-4sinα}$=$\sqrt{\frac{28}{3}-3（sinα+\frac{2}{3}）^{2}}$≤$\sqrt{\frac{28}{3}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
當且僅當sinα=-$\frac{2}{3}$時，取等號，此時2cosα=$±\frac{2\sqrt{5}}{3}$．
∴|PQ|的最大值為|PQ|_max=$\frac{2\sqrt{21}}{3}+\frac{1}{2}$，此時Q（$±\frac{2\sqrt{5}}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查圓的橢圓的極坐標的求法，考查兩點間距離的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．