Question

19．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C₁：x²+（y-2）²=$\frac{1}{4}$，橢圓C₂：x²+4y²=4，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系
（I）求C₁、C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若P，Q分別是圓C₁，橢圓C₂，橢圓C₂上的任意點(diǎn)，求|PQ|的最大值及相應(yīng)的點(diǎn)Q坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圓C₁、C₂的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)Q（2cosα，sinα），求出P到圓心（0，2）的距離的最大值，由此能求出|PQ|的最大值及相應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）∵圓C₁：x²+（y-2）²=$\frac{1}{4}$，∴${x}^{2}+{y}^{2}=2y-\frac{15}{4}$，
∴圓C₁的極坐標(biāo)方程為${ρ}^{2}=2ρsinθ-\frac{15}{4}$．
∵橢圓C₂：x²+4y²=4，
∴橢圓C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4．
（Ⅱ）橢圓C₂：x²+4y²=4的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，0≤α＜2π，
設(shè)Q（2cosα，sinα），則P到圓心（0，2）的距離：
d=$\sqrt{4co{s}^{2}α+（2-sinα）^{2}}$=$\sqrt{8-3si{n}^{2}α-4sinα}$=$\sqrt{\frac{28}{3}-3（sinα+\frac{2}{3}）^{2}}$≤$\sqrt{\frac{28}{3}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)sinα=-$\frac{2}{3}$時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)2cosα=$±\frac{2\sqrt{5}}{3}$．
∴|PQ|的最大值為|PQ|_max=$\frac{2\sqrt{21}}{3}+\frac{1}{2}$，此時(shí)Q（$±\frac{2\sqrt{5}}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的橢圓的極坐標(biāo)的求法，考查兩點(diǎn)間距離的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．