Question

17．已知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）可得對稱軸為x=1，可設f（x）=a（x-1）²+1，由f（0）=3，求出a的值即可；
（2）根據(jù) f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上是單調(diào)函數(shù)則對稱軸應該在區(qū)間的左側或在區(qū)間的右側，從而可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）由已知，設f（x）=a（x-1）²+1，由f（0）=3，得a=2，
故f（x）=2x²-4x+3；
（2）二次函數(shù)的對稱軸為x=1，
當對稱軸在區(qū)間的左側時，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上單調(diào)遞增，即2a≥1解得a≥$\frac{1}{2}$；
當對稱軸在區(qū)間的右側時，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上單調(diào)遞減，即a+1≤1解得a≤0，
綜上，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性，同時考查了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題..