Question

9．定義域為R的連續(xù)函數(shù)f（x）對任意x都有f（x）=f（4-x），且當x≠2時，其導函數(shù)滿足（x-2）•f′（x）＞0，則有（　�。�

• A． f（sinx）＜f（1+sinx）＜f（5^2+sinx）
• B． f（5^2+sinx）＜f（sinx）＜f（1+sinx）
• C． f（1+sinx）＜f（sinx）≤f（5^2+sinx）
• D． f（1+sinx）＜f（5^2+sinx）≤f（sinx）

Answer 1

分析 由題意知函數(shù)f（x）的圖象在R上關于x=2對稱，再由導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，從而由單調性比較大小．

解答 解：∵函數(shù)f（x）對任意x都有f（x）=f（4-x），
∴函數(shù)f（x）的圖象在R上關于x=2對稱，
又∵（x-2）•f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增；
∵sinx，1+sinx∈（-∞，2]，且sinx＜1+sinx，
故f（1+sinx）＜f（sinx），
又∵|sinx-2|≤|5^2+sinx-2|（當且僅當sinx=-1時，等號成立）；
∴f（sinx）≤f（5^2+sinx），
∴f（1+sinx）＜f（sinx）≤f（5^2+sinx），
故選C．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及函數(shù)的單調性的判斷與應用．