Question

8．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的兩條漸進(jìn)線的斜率之積為-3，左右兩支上分別由動(dòng)點(diǎn)A和B．
（1）設(shè)直線AB的斜率為1，經(jīng)過點(diǎn)D（0，5a），且$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{DB}$，求實(shí)數(shù)λ的值．
（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M．若直線AB，MB分別與x軸相交于點(diǎn)P，Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明|OP|•|OQ|=a²．

Answer 1

分析 （1）求得AB的方程，雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立直線和雙曲線的方程，解方程可得A，B的橫坐標(biāo)，由向量共線的坐標(biāo)表示，可得實(shí)數(shù)λ的值；
（2）設(shè)A（m，n），B（s，t），M（m，-n），P（p，0），Q（q，0），由三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，可得p，q，再由A，B在雙曲線上，滿足方程，代入|OP|•|OQ|，化簡(jiǎn)整理即可得證．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的方程為y=x+5a，
由漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
可得b²=3a²，
雙曲線的方程為3x²-y²=3a²，
代入漸近線方程可得，x²-5ax-14a²=0，
解得x=7a或-2a，
即有A的橫坐標(biāo)為-2a，B的橫坐標(biāo)為7a，
則λ=$\frac{0-（-2a）}{7a-0}$=$\frac{2}{7}$；
（2）證明：設(shè)A（m，n），B（s，t），M（m，-n），
P（p，0），Q（q，0），
由A，B，P三點(diǎn)共線可得，$\frac{n-t}{m-s}$=$\frac{-t}{p-s}$，
即有p=$\frac{ns-mt}{n-t}$；
由B，M，Q共線可得，$\frac{t+n}{s-m}$=$\frac{-t}{q-s}$，
即有q=$\frac{mt+ns}{n+t}$，
則有|OP|•|OQ|=|$\frac{ns-mt}{n-t}$•$\frac{mt+ns}{n+t}$|
=|$\frac{{n}^{2}{s}^{2}-{m}^{2}{t}^{2}}{{n}^{2}-{t}^{2}}$|，
由A，B在雙曲線上，可得m²=a²+$\frac{1}{3}$n²，s²=a²+$\frac{1}{3}$t²，
代入上式，可得|$\frac{{n}^{2}{a}^{2}-{t}^{2}{a}^{2}}{{n}^{2}-{t}^{2}}$|=a²．
故|OP|•|OQ|=a²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運(yùn)用，同時(shí)考查直線方程和三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．