Question

2．如圖，三棱錐A-BCD中，AB=BC=CD=DA=BD=AC=2a，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．
（1）證明四邊形EFGH是四邊形
（2）求多面體BD-EFGH的體積．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，E、F分別是邊AB、BC中點(diǎn)，得到EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，且GH=$\frac{1}{2}$AC，得到四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）求出三棱錐的體積，由對(duì)稱性易知平面EFGH將正四面體兩等分，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：在△ABC中，E、F分別是邊AB、BC中點(diǎn)，
所以EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理有GH∥AC，且GH=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥GH且EF=GH，
故四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）解：顯然這個(gè)三棱錐是正四面體，高為$\sqrt{（2a）^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$a，其體積為V=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}•4{a}^{2}•\frac{2\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}{a}^{3}$，
∵AB=BC=CD=DA=BD=AC=2a，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，
∴四邊形EFGH為正方形．
由對(duì)稱性易知平面EFGH將正四面體兩等分，
∴多面體BD-EFGH的體積為$\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^{3}$．

點(diǎn)評(píng) 主要考查知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)單幾何體和公理四，多面體BD-EFGH的體積．公理四：和同一條直線平行的直線平行．