Question

10．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)為a，b，c，已知b+c=1+$\sqrt{2}$，∠B=30°，∠C=45°，則a=$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 作CD⊥AB于點(diǎn)D．設(shè)CD=x，利用三角函數(shù)表示出a、b，然后根據(jù)b+c=1+$\sqrt{2}$，列方程求得x的值，進(jìn)而求得c的值．

解答 解：作AD⊥BC于點(diǎn)D．
設(shè)AD=x，
在直角△ABD中，∠B=30°，則AB=2AD=2x，BD=$\sqrt{3}$x，
在直角△ACD中，∠C=45°，則AC=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$x，CD=AD=x，
∵b+c=1+$\sqrt{2}$，
∴2x+$\sqrt{2}$x=1+$\sqrt{2}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故a=BD+DC=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握好邊角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．