Question

16．已知函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），當(dāng)x=$\frac{2}{3}$π時，f（x）取最大值，則f（x）在[-π，0]上的單調(diào)增區(qū)間是[-$\frac{π}{2}$，0]．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得φ=-$\frac{π}{6}$，可得f（x）=Asin（x-$\frac{π}{6}$）．再根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間求得函數(shù)f（x）的增區(qū)間．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），當(dāng)x=$\frac{2}{3}$π時，f（x）取最大值，
可得$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 φ=2kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
故f（x）=Asin（x-$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．
再結(jié)合x∈[-π，0]，可得f（x）的增區(qū)間為[-$\frac{π}{2}$，0]，
故答案為：[-$\frac{π}{2}$，0]．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的最大值、正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．