Question

2．已知A₁A₂、B₁B₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的長軸和短軸，若△A₁B₁B₂是等邊三角形，則該橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 △A₁B₁B₂是等邊三角形，可得2b=$\sqrt{^{2}+{a}^{2}}$，再利用離心率計算公式即可得出．

解答 解：∵A₁A₂、B₁B₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的長軸和短軸，若△A₁B₁B₂是等邊三角形，
∴2b=$\sqrt{^{2}+{a}^{2}}$，化為a²=3b²．
∴該橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．