Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=AB，求點(diǎn)D到平面PBC的距離；
（3）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能證明BD⊥平面PAC．
（2）設(shè)所求距離為h，由V_D-PBC=V_P-BDC，利用等體積法能求出點(diǎn)D到平面PBC的距離．
（3）設(shè)PA=x．過B作PH垂直于PC，垂足為H，再連接DH，利用余弦定理能求出PA的長(zhǎng)．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
∴BD⊥平面PAC．（3分）
解：（2）設(shè)所求距離為h，
∵PA=AB=2，∴$PB=\sqrt{P{A^2}+A{B^2}}=2\sqrt{2}$，$PC=\sqrt{P{A^2}+A{C^2}}=4$，
$在△PBC中，PC=4，PB=2\sqrt{2}，BC=2$，
$\begin{array}{l}∴cos∠PBC=\frac{8+4-16}{{2×2\sqrt{2}×2}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}\end{array}$
∴$\begin{array}{l}sin∠PBC=\frac{{\sqrt{14}}}{4}\end{array}$，${S_{△PBC}}=\frac{1}{2}PB×CB×sin∠PBC=\sqrt{7}$，
∵V_D-PBC=V_P-BDC，$即\frac{1}{3}•{S_{△PBC}}•h=\frac{1}{3}•{S_{△BDC}}•PA$，
$\begin{array}{l}∴h=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}\end{array}$，即點(diǎn)D到平面PBC的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
（3）設(shè)PA=x．過B作PH垂直于PC，垂足為H，再連接DH．PA=$\sqrt{6}$
依題平面PBC與平面PDC垂直，∴∠BHD=90°，由對(duì)稱性可知BH=DH，
∵BD=2，∴BH=$\sqrt{2}$，∵BC=$\sqrt{2}$，∴∠PCB=45°，
∴PB²=x²+4，PC²=x²+12，
$根據(jù)余弦定理cos∠PCB=\frac{{P{C^2}+4-P{B^2}}}{2•2•PC}$，
解得$x=\sqrt{6}$，
∴PA的長(zhǎng)為$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離、線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等體積法、余弦定理的合理運(yùn)用．