Question

1．已知實系數(shù)三次函數(shù)φ（x）=ax³+bx²+cx+d有三個正零點，且φ（0）＜0．求證：2b³+9a²d-7abc≤0．

Answer 1

分析 設(shè)三個正根為x₁，x₂，x₃；從而可得a＞0，b=-a（x₁+x₂+x₃），c=a（x₁x₂+x₃x₂+x₁x₃），d=-ax₁x₂x₃，從而利用分析法證明即可．

解答 證明：設(shè)三個正根為x₁，x₂，x₃；
則φ（x）=ax³+bx²+cx+d
=a（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）
=a（x³-（x₁+x₂+x₃）x²+（x₁x₂+x₃x₂+x₁x₃）x-x₁x₂x₃），
∵φ（0）＜0，∴a＞0；
b=-a（x₁+x₂+x₃），c=a（x₁x₂+x₃x₂+x₁x₃），d=-ax₁x₂x₃，
要證2b³+9a²d-7abc≤0，
只要證-2a³（x₁+x₂+x₃）-9a³x₁x₂x₃+7a³（x₁+x₂+x₃）（x₁x₂+x₃x₂+x₁x₃）≤0，
只要證-2（x₁+x₂+x₃）-9x₁x₂x₃+7（x₁+x₂+x₃）（x₁x₂+x₃x₂+x₁x₃）≤0，
只要證-2（x₁+x₂+x₃）+7（x₁+x₂+x₃）（x₁x₂+x₃x₂+x₁x₃）≤9x₁x₂x₃，
只要證2x₁³+2x₂³+2x₃³≥x₁x₂²+x₃x₂²+x₁²x₂+x₃²x₂+x₁²x₃+x₁x₃²，
∵x₁³+x₂³-x₁x₂²-x₁²x₂=（x₁-x₂）²（x₁+x₂）≥0，
∴x₁³+x₂³≥x₁x₂²+x₁²x₂，
同理可得，x₁³+x₃³≥x₁x₃²+x₁²x₃，
x₂³+x₃³≥x₂x₃²+x₂²x₃，
∴2x₁³+2x₂³+2x₃³≥x₁x₂²+x₃x₂²+x₁²x₂+x₃²x₂+x₁²x₃+x₁x₃²，
∴原不等式成立．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用及分析法的應(yīng)用．