Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和s_n=n²-n，正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}中，b₁+b₂=8，b₃+b₄=$\frac{8}{9}$
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=a_n•b_n+1，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和s_n=n²-n，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1．可得a_n．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和s_n=n²-n，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=0；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=（n²-n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2．
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，∴a_n=2n-2．
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，∵b₁+b₂=8，b₃+b₄=$\frac{8}{9}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{_{1}（1+q）=8}\\{_{1}（{q}^{2}+{q}^{3}）=\frac{8}{9}}\end{array}\right.$，解得b₁=6，q=$\frac{1}{3}$．
∴b_n=$6×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=2×3^2-n．
（2）c_n=a_n•b_n+1=（2n-2）•2×3^1-n=$12（n-1）×（\frac{1}{3}）^{n}$．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=12$[0+（\frac{1}{3}）^{2}+2×（\frac{1}{3}）^{3}$+…+$（n-1）×（\frac{1}{3}）^{n}]$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=12$[（\frac{1}{3}）^{3}+2×（\frac{1}{3}）^{4}$…+$（n-2）×（\frac{1}{3}）^{n}+（n-1）×（\frac{1}{3}）^{n+1}]$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=12$[（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{3}$+…+$（\frac{1}{3}）^{n}$-$（n-1）×（\frac{1}{3}）^{n+1}]$=12$[\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$（n-1）×（\frac{1}{3}）^{n+1}]$=$2-\frac{4n+2}{{3}^{n}}$，
∴T_n=3-$\frac{2n+1}{{3}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．