Question

16．如圖所示，ABCD是以原點(diǎn)O為中心、邊長(zhǎng)為2的正方形，M點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，3），當(dāng)正方形在滿足上述條件下轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，$\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{MD}$的取值范圍是[15，35]．

Answer 1

分析 由題意可設(shè)$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$、$\overrightarrow{MO}$的夾角為θ，則$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{MD}$=（$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OD}$）=$\overrightarrow{MO}$²+（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$）•$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$，再由$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{OD}$及$\overrightarrow{MO}$²=25，|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|=2，代入即可得到25+10cosθ，由余弦函數(shù)的值域，即可得到所求范圍．

解答 解：記$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$、$\overrightarrow{MO}$的夾角為θ，
則$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{MD}$=（$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OD}$）=$\overrightarrow{MO}$²+（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$）•$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$，
由$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{OD}$及$\overrightarrow{MO}$²=25，|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|=2，
則$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{MD}$=25+|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|•|$\overrightarrow{MO}$|•cosθ=25+10cosθ，
由-1≤cosθ≤1，可得$\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{MD}$的最小值為25-10=15；
最大值為25+10=35．
則$\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{MD}$的取值范圍是[15，35]．
故答案為：[15，35]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，同時(shí)考查余弦函數(shù)的值域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．