Question

1．已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b的圖象經(jīng)過A（1，-4）、B（-1，0）兩點(diǎn)．
（1）關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求k的取值范圍；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（1）=-4，f（-1）=0，解方程可得a，b，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式，求得最小值，即可得到k的范圍；
（2）求出對(duì)稱軸，討論區(qū)間和對(duì)稱軸的關(guān)系，得到單調(diào)區(qū)間，即可得到最值．

解答 解：（1）由f（x）=x²+ax+b的圖象經(jīng)過A（1，-4）、B（-1，0）兩點(diǎn)，
得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1+a+b=-4}\\{f（-1）=1-a+b=0}\end{array}\right.$，解得a=-2，b=-3，
即有f（x）=x²-2x-3，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值，且為-4，
由f（x）=k有兩個(gè)相異的實(shí)根，可得k＞-4．
故k的取值范圍是（-4，+∞）；
（2）由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=1，
可得f（x）在區(qū)間[0，1]上為減函數(shù)，在區(qū)間[1，4]上為增函數(shù)，
而f（1）=-4，f（4）=5，f（0）=-3，
故f（x）在區(qū)間[0，4]上的最小值為-4，最大值為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法和函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題．