Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+b（a，b∈R），若函數(shù)f（x）在x=2處的切線與直線y=2x+ln$\frac{2}{e}$垂直，且垂足的橫坐標(biāo)為$\frac{2}{5}$，其中e=2.71828…．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對?0＜x₁＜x₂，證明：$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由垂直的條件可得斜率之積為-1，解方程可得a=1，求得垂足，再由切點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式，計(jì)算可得b=1，進(jìn)而得到f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（2）f（x）=lnx-x+1．因?yàn)?＜x₁＜x₂，所以$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}}$等價(jià)于ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-1，令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$（t＞1），則只需證明lnt＜t-1．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-ax+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
則函數(shù)f（x）在x=2處的切線斜率為$\frac{1}{2}$-a，
由切線與直線y=2x+ln$\frac{2}{e}$垂直，可得-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$-a，
解得a=1，
又垂足為（$\frac{2}{5}$，ln2-$\frac{1}{5}$），
由$\frac{ln2-2+b-（ln2-\frac{1}{5}）}{2-\frac{2}{5}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得b=1，
則有f（x）=lnx-x+1，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
令f′（x）＞0可得0＜x＜1，令f′（x）＜0可得x＞1，
即有f（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（0，1）；
（2）證明：f（x）=lnx-x+1．
因?yàn)?＜x₁＜x₂，
所以$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}}$等價(jià)于ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-1，
令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$（t＞1），
則只需證明lnt＜t-1，
令h（t）=lnt-t+1，
則h′（t）=$\frac{1}{t}$-1＜0，
所以h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以h（t）＜h（1）=0，
即lnt＜t-1．
則有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}}$成立．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、切線方程和單調(diào)性等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．