Question

已知F₁是橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）與拋物線C₂：x²=4y共同的焦點，M是C₁與C₂在第二象限的交點，且|MF₁|=

5

3

．
（1）試求橢圓C₁的方程；
（2）已知點P是橢圓C₁上的動點，GH是圓x²+（y+1）²=1的直徑，試求

PG

•

PH

的最大值；
（3）與圓x²+（y+1）²=1相切的直線l：y=k（x+t）（t≠0）交橢圓于A、B兩點，若橢圓上的點P滿足

OA

+

OB

=λ

OP

，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）利用拋物線的方程和定義即可求出點M的坐標(biāo)，再利用橢圓的定義即可求出；
（2）根據(jù)直線與圓相切則圓心到直線距離等于半徑，可得k=

2t

1-t2

，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合橢圓上一點P滿足

OA

•

OB

=λ

OP

=(x1+x2，y1+y2)，可得到λ²的表達式，進而求出實數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知F₁（0，1），
∴a²-b²=1，①
設(shè)M（x₀，y₀），（x₀＜0），
則|MF₁|=y0+1=

5

3

，解得y0=

2

3

，x02=4y0=

8

3

，
∴

4

9a2

+

8

3b2

=1．②
由①②得a²=4，b²=3．
故橢圓的方程為

x2

3

+

y2

4

=1．
（2）由題意，圓過原點，設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
∵GH是圓的直徑，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
設(shè)P（x₃，y₃），則

PG

=(x1-x3，y1-y3)，

PH

=(x2-x3，y2-y3)，
∴

PG

•

PH

=x1x2+y1y2-x3(x1+x2)-y3(y1+y2)+x32+y32；
又GH的中心是（0，-1），
∴x₁+x₂=0，y₁+y₂=-2，而

x32

3

+

y32

4

=1，
∴x32=3-

3

4

y32，
∴

PG

•

PH

=

1

4

y32+2y3+3=

1

4

(y3+4)2-1，
又∵-2≤y₃≤2，
∴當(dāng)y₃=2時，

PG

•

PH

最大，并且最大值為8．
（3）∵直線l：y=k（x+t），（t≠0）與圓x²+（y+1）²=1相切，
∴

|kt+1|

1+k2

=1⇒k=

2t

1-t2

，（t≠0）．③
將直線y=k（x+t）代入橢圓方程，整理得
（4+3k²）x²+6k²tx+3k²t²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

6k2t

4+3k2

，y1+y2=k（x₁+t）+k（x₂+t）=k（x₁+x₂）+2kt=

8kt

4+3k2

，
∵

OA

•

OB

=λ

OP

=(x1+x2，y1+y2)，
∴P（-

6k2t

(4+3k2)λ

，

8kt

(4+3k2)λ

），
又P在橢圓

x2

3

+

y2

4

=1上，
∴

12k4t2

(4+3k2)2λ2

+

16k2t2

(4+3k2)2λ2

=1，解得λ2=

4k2t2

4+3k2

，
將③代入整理得：λ2=

4

( 1 t2 )2+ 1 t2 +1

（t≠0）
∴0＜λ²＜4，
∴λ的取值范圍是（-2，0）∪（0，2）．

點評：熟練掌握圓錐曲線的定義和性質(zhì)、向量相等、直線與圓錐曲線的相交問題及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題需要較強的計算能力，注意分類討論的思想方法應(yīng)用．