Question

4．已知曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{4}{5}t}\\{y=1+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系．
（1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程、直線l的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）若直線l與曲線C交于M、N兩點，求線段MN的長度．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，可得曲線C的直角坐標方程；運用代入法，可得直線的普通方程；
（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線C的方程，運用韋達定理和參數(shù)的幾何意義，即可得到所求MN的長．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得曲線C的極坐標方程ρ=4cosθ，
即為ρ²=4ρcosθ，即有x²+y²-4x=0；
直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{4}{5}t}\\{y=1+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去t，可得直線l的直角坐標方程3x-4y-2=0；
（2）將直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{4}{5}t}\\{y=1+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
代入圓的方程x²+y²-4x=0，可得：
t²+$\frac{6}{5}$t-3=0，t₁+t₂=-$\frac{6}{5}$，t₁t₂=-3．
則|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{6}{5}）^{2}-4×（-3）}$=$\frac{4\sqrt{21}}{5}$．

點評 本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，以及參數(shù)方程和普通方程的互化，注意運用代入法，同時考查直線的參數(shù)方程的運用，注意參數(shù)的幾何意義和韋達定理的運用，屬于中檔題．