Question

3．已知函數(shù)f（x）=cosx，若f（x）=m在區(qū)間（0，3π）上恰有三個(gè)不同的實(shí)根，且三個(gè)實(shí)根從小到大依次成等比數(shù)列，則這三個(gè)實(shí)根之和為（　�。�

• A． $\frac{9π}{2}$
• B． $\frac{13π}{4}$
• C． $\frac{7π}{3}$
• D． $\frac{14π}{3}$

Answer 1

分析 由方程可化為函數(shù)f（x）=cosx與函數(shù)y=m的圖象在區(qū)間（0，3π）上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作函數(shù)圖象可得x₁+x₂=2π，x₃=2π+x₁；從而解得．

解答 解：∵f（x）=m在區(qū)間（0，3π）上恰有三個(gè)不同的實(shí)根，
∴函數(shù)f（x）=cosx與函數(shù)y=m的圖象在區(qū)間（0，3π）上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
作函數(shù)f（x）=cosx與函數(shù)y=m在（0，3π）上的圖象如下，

結(jié)合圖象可得，x₁+x₂=2π，x₃=2π+x₁；
又由x₁，x₂，x₃成等比數(shù)列知，x₂²=x₁x₃，
即（2π-x₁）²=x₁（2π+x₁），
故x₁=$\frac{2π}{3}$，
x₁+x₂+x₃=4π+x₁=4π+$\frac{2π}{3}$=$\frac{14π}{3}$；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用及等比數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．