Question

19．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AD⊥DC，DC∥AB，PA=AB=2，BC=$\sqrt{2}$，AD=DC=1．
（1）求證：PC⊥BC；
（2）E為PB中點，F(xiàn)為BC中點，求四棱錐D-EFCP的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質定理進行證明即可．
（2）根據(jù)條件求出四棱錐的高，利用棱錐的體積公式進行求解即可．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC?面ABCD，
∴PA⊥BC，連接AC，
∵AD=CD，AD⊥CD，∴AC=$\sqrt{2}$，
∵BC=$\sqrt{2}$，AB=2，AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，
∵PC?面PAC，
∴PC⊥BC；
（2）由（1）知BC⊥PC，且PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{6}$，
∵E為PB中點，F(xiàn)為BC中點，
∴S_EFCP=$\frac{3}{4}$S_PBC，
則V_D-EFCP=$\frac{3}{4}$V_D-PBC=$\frac{3}{4}$V_P-DBC=$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}•PA•（{S}_{ABCD}-{S}_{ABD}）$=$\frac{1}{4}×2×（\frac{3}{2}-1）=\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查空間直線和直線垂直的判定以及三棱錐體積的計算，根據(jù)相應的判定定理以及棱錐的體積公式是解決本題的關鍵．