Question

9．（Ⅰ）若t∈R，t≠0時，求復(fù)數(shù)z=$\frac{1}{t}$+ti的模的取值范圍；
（Ⅱ）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解關(guān)于z方程|z|²+（z+$\overline z$）i=$\frac{3-i}{2+i}$（i為虛數(shù)單位）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式進行求解即可．
（Ⅱ）根據(jù)復(fù)數(shù)方程，利用待定系數(shù)法進行求解．

解答 解：（Ⅰ）$|z|=\sqrt{{t^2}+\frac{1}{t^2}}≥\sqrt{2}$
∴復(fù)數(shù)z=$\frac{1}{t}+ti$的模的取值范圍為$[{\sqrt{2}，+∞}）$…（4分）
（Ⅱ）原方程化簡為${|z|^2}+（z+\overline z）i=1-i$，…（6分）
設(shè)z=x+yi（x，y∈R），代入上述方程得x²+y²+2xi=1-i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=1\\ 2x=-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$…（9分）
∴原方程的解是$z=-\frac{1}{2}±\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$…（10分）

點評 本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算，考查學(xué)生的計算能力．