Question

5．已知關(guān)于x的不等式kx²-（1+k）x+1＜0（其中k∈R）．
（1）若k=-3，解上述不等式；
（2）若k＞0，求解上述不等式．

Answer 1

分析 （1）k=-3，可得：-3x²+2x+1＜0，利用一元二次不等式的解法即可得出．
（2）若k＞0，則原不等式可化為$k（x-1）（x-\frac{1}{k}）＜0$，由于k＞0，$（x-1）（x-\frac{1}{k}）＜0$．對k分類討論即可得出．

解答 解：（1）若k=-3，則-3x²+2x+1＜0，
即3x²-2x-1＞0，即（x-1）（3x+1）＞0，
解之得$x＜-\frac{1}{3}$，或x＞1，
故原不等式的解集為$（-∞，-\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$．
（2）若k＞0，則原不等式可化為$k（x-1）（x-\frac{1}{k}）＜0$，由于k＞0，
∴$（x-1）（x-\frac{1}{k}）＜0$．
①當(dāng)k=1時(shí)，$\frac{1}{k}=1$，不等式$（x-1）（x-\frac{1}{k}）＜0$無解；
②當(dāng)0＜k＜1時(shí)，$\frac{1}{k}＞1$，由$（x-1）（x-\frac{1}{k}）＜0$，可得$1＜x＜\frac{1}{k}$；
③當(dāng)k＞1時(shí)，$\frac{1}{k}＜1$，由$（x-1）（x-\frac{1}{k}）＜0$，可得$\frac{1}{k}＜x＜1$．
綜上所述，可知：
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，原不等式的解集為$（1，\frac{1}{k}）$；
當(dāng)k=1時(shí)，原不等式的解集為∅；
當(dāng)k＞1時(shí)，原不等式的解集為$（\frac{1}{k}，1）$．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．