Question

15．已知奇函數(shù)f（x）=$\frac{a•{2}^{x}-2+a}{{2}^{x}+1}$．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的值域；
（3）若對任意t∈（-1，0]，不等式f（t²-mt+7）+f（t²+5t-m）＞0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的性質(zhì)：可得f（0）=0，解得a=1，再由定義即可得到結(jié)論；
（2）運用指數(shù)函數(shù)的值域，結(jié)合不等式的性質(zhì)，可得所求值域；
（3）由題意可得f（t²-mt+7）＞-f（t²+5t-m）=f（-t²-5t+m），由f（x）在R上遞增，可得t²-mt+7＞-t²-5t+m，即有m（t+1）＜2t²+5t+7，設出t+1=k，由參數(shù)分離和基本不等式可得最小值，進而得到m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{a•{2}^{x}-2+a}{{2}^{x}+1}$=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
由f（x）為奇函數(shù)，可得f（0）=0，
即有a-1=0，解得a=1，
即有f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
由f（-x）+f（x）=2-$\frac{2}{1+{2}^{-x}}$-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=2-$\frac{2（1+{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=0，
可得f（x）為奇函數(shù)．
故a=1；
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，由2^x＞0，可得2^x+1＞1，
即有$\frac{2}{{2}^{x}+1}$∈（0，2），
即有f（x）的值域為（-1，1）；
（3）對任意t∈（-1，0]，不等式f（t²-mt+7）+f（t²+5t-m）＞0恒成立，
即為f（t²-mt+7）＞-f（t²+5t-m）=f（-t²-5t+m），
由f（x）在R上遞增，可得t²-mt+7＞-t²-5t+m，
即有m（t+1）＜2t²+5t+7，
令t+1=k（0＜k≤1），即有m＜$\frac{2（k-1）^{2}+5（k-1）+7}{k}$，
化簡可得m＜2k+$\frac{4}{k}$+1在0＜k≤1恒成立，
由2k+$\frac{4}{k}$+1的導數(shù)為2-$\frac{4}{{k}^{2}}$＜0在0＜k≤1成立，
即有2k+$\frac{4}{k}$+1在（0，1]遞減，可得k=1即t=0時，
取得最小值，且為7．則m＜7．故m的取值范圍是（-∞，7）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的運用：求參數(shù)的值，考查函數(shù)的值域的求法，注意運用指數(shù)函數(shù)的值域，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．