Question

16．若函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²+1（k≠0）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． k≥1或k≤-$\frac{1}{3}$
• B． k≤-$\frac{1}{3}$
• C． k≥$\frac{1}{3}$
• D． k≥1

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，然后利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解．

解答 解：若f（x）=kx³+3（k-1）x²+1（k≠0）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，
則f′（x）≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，
即f′（x）=3kx²+6（k-1）x≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，
即kx+2（k-1）≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，
即k（x+2）≥2在區(qū)間（0，1）上恒成立，
即k≥$\frac{2}{x+2}$在區(qū)間（0，1）上恒成立，
設(shè)g（x）=$\frac{2}{x+2}$，則g（x）在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，
則g（1）＜g（x）＜g（0），
即$\frac{2}{3}$＜g（x）＜1，
則k≥1，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合參數(shù)分離法求出函數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．