Question

2．在數列{a_n}中，設S₁=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n，S₂=a_n+1+a_n+2+a_n+3+…+a_2n，S₃=a_2n+1+a_2n+3+…+a_3n
（1）如果{a_n}是以d為公差的等差數列，求證S₁，S₂，S₃也是等差數列，并求其公差；
（2）如果{a_n}是以q為公比的等比數列，求證S₁，S₂，S₃也是等比數列，并求其公比．

Answer 1

分析 （1）由題意分別寫出等差數列的第一個n項和，第二個n項和，第三個n項和，再由等差數列的定義證明S₁，S₂，S₃也是等差數列，并求其公差；
（2）由題意分別寫出等比數列的第一個n項和，第二個n項和，第三個n項和，再由等比數列的定義證明S₁，S₂，S₃也是等比數列，并求其公比．

解答 證明：（1）∵{a_n}是以d為公差的等差數列，
∴${S}_{1}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}$，${S}_{2}=n{a}_{n+1}+\frac{n（n-1）d}{2}=n（{a}_{1}+nd）+\frac{n（n-1）d}{2}$，${S}_{3}=n{a}_{2n+1}+\frac{n（n-1）d}{2}=n（{a}_{1}+2nd）+\frac{n（n-1）d}{2}$．
則${S}_{2}-{S}_{1}={n}^{2}d$，${S}_{3}-{S}_{2}={n}^{2}d$，∴${S}_{2}-{S}_{1}={S}_{3}-{S}_{2}={n}^{2}d$．
即S₁，S₂，S₃也是等差數列，其公差為n²d；
（2）∵{a_n}是以q為公比的等比數列，
若q=1，則S₁=na₁，S₂=na₁，S₃=na₁，∴S₁，S₂，S₃也是等比數列，其公比為1；
若q≠1，則${S}_{1}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，${S}_{2}=\frac{{a}_{n+1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=\frac{{a}_{1}{q}^{n}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，${S}_{3}=\frac{{a}_{2n+1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=\frac{{a}_{1}{q}^{2n}（1-{q}^{n}）}{1-q}$．
∴$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}={q}^{n}，\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}={q}^{n}$，
∴S₁，S₂，S₃也是等比數列，其公比為qⁿ，
綜上S₁，S₂，S₃也是等比數列，其公比為qⁿ．

點評 本題考查等差數列和等比數列的通項公式，考查了等差數列和等比數列的性質，是中檔題．