Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（0，-$\sqrt{3}$），F(xiàn)₂（0，$\sqrt{3}$），離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+1與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．k為何值時(shí)OA⊥OB？此時(shí)線段AB的值是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c=$\sqrt{3}$，運(yùn)用離心率公式可得a=2，由a，b，c的關(guān)系，可得b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+1與橢圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線代入橢圓的方程，再利用韋達(dá)定理求得 x₁+x₂ 和x₁•x₂．根據(jù)向量垂直的條件可得數(shù)量積為0，求得k的值．根據(jù)弦長(zhǎng)公式，計(jì)算求得結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c=$\sqrt{3}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+1與橢圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$可得 （k²+4）x²+2kx-3=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{-3}{4+{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即 x₁•x₂+y₁•y₂=0，
即（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
即 （1+k²）（$\frac{-3}{4+{k}^{2}}$）+k（-$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$）+1=0，
化間得-4k²+1=0，解得k=±$\frac{1}{2}$．
此時(shí)，|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{（±\frac{4}{17}）^{2}+4×\frac{12}{17}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，注意設(shè)而不求思想的應(yīng)用和韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，屬于中檔題．