Question

3．已知復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R），且|z-2|=$\sqrt{3}$，則$\frac{y+1}{x}$的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． 2+$\sqrt{6}$
• D． 2-$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R），且|z-2|=$\sqrt{3}$，可得（x-2）²+y²=3．設(shè)圓的切線l：y=kx-1，利用圓的切線的性質(zhì)與點到直線的距離公式可得k²-4k-2=0，解出即可．

解答 解：∵復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R），且|z-2|=$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴（x-2）²+y²=3．
設(shè)圓的切線l：y=kx-1，
則$\frac{|2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\sqrt{3}$，
化為k²-4k-2=0，
解得$k=2±\sqrt{6}$．
∴$\frac{y+1}{x}$的最大值為2+$\sqrt{6}$．
故選：C．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)模的計算公式、圓的標準方程及其切線的性質(zhì)、點到直線的距離公式、斜率的意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．