Question

17．若函數(shù)f（x）=4sin（ωx+φ）對任意的x都有f（${\frac{π}{3}$+x）=f（-x），則f（$\frac{π}{6}}$）=（　�。�

• A． 0
• B． -4或0
• C． 4或0
• D． -4或4

Answer 1

分析 由題意可得f（x+$\frac{2π}{3}$）=f（x），故函數(shù)f（x）的周期為$\frac{2π}{3}$，求得ω=3．在條件$f（\frac{π}{3}+x）=f（-x）$中，令x=0，求得sinφ=0，從而求得f（$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=4sin（ωx+φ）對任意的x都有$f（\frac{π}{3}+x）=f（-x）$，
∴f（x+$\frac{2π}{3}$）=f（x），故函數(shù)f（x）的周期為$\frac{2π}{3}$，故$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，∴ω=3，
∴f（x）=4sin（3x+φ）．
在$f（\frac{π}{3}+x）=f（-x）$中，令x=0，可得f（$\frac{π}{3}$）=f（0），
即4sin（π+φ）=4sinφ，即-4sinφ=4sinφ，∴sinφ=0，
則$f（\frac{π}{6}）$=4sin（$\frac{π}{2}$+φ）=4cosφ=±4，
故選：D．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性，誘導(dǎo)公式，屬于中檔題．