Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-1（x≠0）
（1）若對任意的x∈R⁺，不等式f（x）＞0恒成立，求m的取值范圍；
（2）試討論函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）化簡可得m＞x-x²對x＞0恒成立，從而利用配方法化為最值問題即可；
（2）令f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-1=0化簡可得m=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，x＞0}\\{x+{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，從而轉(zhuǎn)化為y=m和y=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，x＞0}\\{x+{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而利用數(shù)形結(jié)合求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x+$\frac{m}{x}$-1＞0恒成立，
則有m＞x-x²對x＞0恒成立，
而x-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
故m＞$\frac{1}{4}$；
（2）令f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-1=0得，
m=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，x＞0}\\{x+{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
即y=m和y=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，x＞0}\\{x+{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，
①m＞$\frac{1}{4}$或m＜-$\frac{1}{4}$時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；
②m=±$\frac{1}{4}$或m=0時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；
③-$\frac{1}{4}$＜m＜$\frac{1}{4}$且m≠0時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想應(yīng)用．